3.14 formas de determinar o valor de Pi

O valor do Pi é 3.14159… mas o valor do Pi é um número irracional e não é possível determinar um padrão nos dígitos de Pi que se repita infinitamente — embora todas as sequências de números se encontrem algures no número Pi. Um número irracional é aquele em que não é possível representar pela divisão dois números inteiros.

Então como calcular o valor de Pi? Qual o significado de Pi?

Conteúdo:

Uma introdução a Pi

Pi é o rácio entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. pi=P/D

A primeira definição que provavelmente aprendemos na escola sobre Pi tem a ver com a determinação do perímetro de uma circunferência de diâmetro 1. O valor do perímetro desta circunferência é o valor de Pi e daqui surge logo a primeira forma de determinarmos o seu valor. Desenha-se uma circunferência com um compasso cuja amplitude seja 0.5 e o perímetro será de 3.14… (as unidades são arbitrárias) que teria que ser medido com um cordel pousado sobre o perímetro. Ora este método não é muito preciso e já no passado se sabia que o valor de Pi poderia ser calculado desta forma.

1) Um pouco da História antiga de Pi

Claro que na história já havia uma ideia do valor de Pi. Os Babilónios antigos tinha ideia de que o valor de Pi seria próximo de 3 e há um gravação onde é indicado o valor de 3.125. Por seu lado, os egípcios determinavam a área do círculo como [(8d)/9)^2 (com d igual ao diâmetro) o que dá um valor de Pi de 3.1605.

Arquimedes de Siracusa por seu lado percebendo que não podia determinar o valor exacto de Pi através de um número racional decidiu enquadrá-lo entre dois números racionais. Segundo ele, Pi estaria no intervalo [223/71, 22/7]. O método geométrico consistia na utilização de poligonos que eram inseridos ou que cobriam a circunferência. Desta forma era possível obter um intervalo para o valor de Pi.

Até na Bíblia aparece uma referência indirecta de Pi como sendo igual a 3 (ver passagem sobre o mar de bronze onde para uma circunferência de dez côvados de diâmetro era preciso usar um fio de trinta côvados para medir o perímetro).

No século XVI e XVII a cálculo de Pi beneficiou dos recentes avanços matemáticos na domínio séries infinitas permitindo o cálculo de Pi com muito maior precisão que os métodos geométricos utilizados até então. Na Europa James Gregory em 1671 e Leibniz em 1674 redescobriram uma série infinta de Madhava de Sangamagram em que

arctan (z) = z - z^3 / 3 + z^5 / 5 - z^7 / 7 +...

Esta fórmula é igual a Pi/4 quando z=1, mas converge lentamente pelo que John Machin apresentou em 1706 uma fórmula que converge muito mais rapidamente e que é a fórmula usualmente utilizada no cálculo de Pi nos computadores modernos:

Pi/4 = 4*arctan(1/5)-arctan(1/239)

Se expandirmos a fórmula em série, apenas com 4 parcelas é possível ter um erro na 6 casa decimal. Nada mau.

Foi também no século XVIII que a letra grega π foi introduzida para designar este valor, tendo a sua utilização sido popularizada por Eüler.

Podem experimentar a comparação dos dois valores com o seguinte código em python:

def arctan(z, it):
    out=0.0
    for a in range(1,it+1):
        p=2*a-1
        s=1
        if a%2==0:
            s=-1
        out+=s*(z**p)/p
    return out
 
for a in range(1,5):
    print 4*arctan(1.0,a), 4*(4*arctan(1.0/5,a)-arctan(1.0/239.0,a))

2) Calcular Pi com berlindes

Mas há outras razões que também dão Pi, uma delas é a que permite o cálculo de Pi através do atirar berlindes para dentro de uma caixa. Imagine que tem uma caixa quadrada e uma hula-hoop que encaixa perfeitamente dentro desta caixa. Se atirarmos berlindes para dentro da caixa de forma a que caiam aleatoriamente, calcularmos a fracção dos berlindes que caíram dentro do círculo e multiplicarmos por 4 temos uma aproximação de Pi.

A razão pela qual isto funciona tem a ver com o facto da razão entre as área do círculo e do quadro que o inscreve estarem relacionadas por Pi/4 (π.r^2/4.r^2= π/4). Se tiver paciência experimente lançar 400 berlindes para dentro da caixa e verifique. Claro que uma forma mais simples é fazê-lo através de um programa de computador. Por exemplo o código seguinte escrito em python lança o equivalente a 400 000 berlindes para fazer uma estimativa de Pi.

import random
pi=0
for a in range(400000):
        x=random.random()
        y=random.random()
        if x**2+y**2<1:
                pi+=1
print "Estimativa de Pi", pi / 100000.0

3) Calcular Pi com fósforos

Uma outra forma de calcular Pi é a partir de fósforos (quantos mais melhor) e um cartolina. Desenhe na cartolina linhas horizontais paralelas com uma distância entre si igual ao tamanho dos fósforos. Depois atire da forma mais aleatória possível os fósforos para cima da cartolina. Duas coisas podem acontecer: ou os fósforos tocam uma linha (não podem tocar as duas linhas ao mesmo tempo) ou não tocam em linha nenhuma. Agora é só uma questão de contar. Conte o número de fósforos que atirou (N) e o número de fósforos que cruzaram linhas (C). Depois, o valor de Pi é aproximado por $latex 2\times N/C$. Este método é também conhecido como o método da agulha de Buffon. O Conde de Buffon viveu no século XVIII e foi um naturalista francês que ainda antes Darwin apresentou ideias sobre a evolução das espécies.

4) Calcular Pi com Computadores

Hoje em dia o cálculo de Pi é feito por computadores através de diferentes estratégias de computação do valor de Pi. O número de dígitos calculados atinge valores para lá do racional (perdoem a chalaça) na ordem dos 10 triliões (10^13). Tanta precisão é inútil para aplicações práticas mas o software desenvolvido para fazer estes cálculo é muito utilizado para benchmarks de computadores e como testes de stress de máquinas pela comunidade de Overclocking.

O princípio básico do cálculo de Pi através de computadores é através de aproximações numéricas de séries infinitas. Os recordes mais actuais são batidos utilizando normalmente o algoritmo de Chudnobsky

Algum software para calcular Pi:

História do Xadrez em Portgual

Xadrez

Sendo o Xadrez um desporto com uma senhora idade é estranho que não haja na internet mais informação sobre este desporto em Português. Será que somos um país da bisca e pouco mais?

No entanto foi com surpresa que encontrei por acidente um site dedicado à História do Xadrez de Competição em Portugal que cobre do século XIX à actualidade.

É pena que o site não esteja mais adequado à Internet moderna, limitando-se a disponibilizar a informação em ficheiros PDFs por diferentes períodos.

Uma outra coisa que este site também não cobre é a cultura do Xadrez que não de competição. Era um jogo que era praticado em Portugal? Jogava-se na corte? Há registos em cartas ou documentos descritivos dos usos e costumes onde o jogo apareça referenciado? Alguém tem conhecimento da existência de alguma publicação que faça o retrato do jogo de Xadrez na sociedade Portuguesa ao longo da história?

update (26 Oct 2015): o link para o site http://historiadoxadrez.net/ parece não estar a funcionar pelo que troquei-o pelo link para o wayback machine do archive.org.

Xadrezista Português em Foco aos 79

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Legendarios del Ajedrez: Joaquín Durao por LHCáceresA Portugal se la conoce ajedrecisticamente por tres cosas: Pedro Damiano, la muerte de Alekhine en Estoril y por su emblematico M.I. Joaquin Durao.Joaqui Durao, nacio el 25 de Octubre del 1930, es decir en este año cumplirá 79 años, y aun sigue jugado, y es aún más que jugar, ganando partidas. Con sus trece campeonatos nacionales de ajedrez de Portugal tiene un record muy dificil de superar, y sobre todo en el mayor exponete del ajedrez en todas sus facetas deportiva.

Não é todos os dias que Portugal é referido no mundo, muito menos no do Xadrez. LHCáceres pegou numa partida de um dos maiores xadrezistas portugueses, Joaquim Durão, para contar a história de uma partida e a história acabou no blog da Susan Polgar (FIDE Rank) dando-lhe outra visibilidade. Leia o artigo e já agora veja a análise do jogo também.

Sobre os blogs…

Foto de bertobox

Este fim de semana todas as conversas parece que giraram em torno da existência-ou-não-ou-do-que-é-ou-nem-por-isso a blogosfera portuguesa, ou mais resumidamente Os BLOGS…

Não me importou a polémica embora concorde com as críticas mais severas que foram sendo feitas, porque mais uma vez, num universo de centenas de milhar apenas os “colunáveis” continuam a ser, dizer e opinar sobre uma realidade da qual estão manifestamente alheios.

Mas longe das polémicas… a discussão pôs-me a pensar no que já passou, no que ficou e no que ainda resiste. Fez-me também pensar no meu trajecto, no que fiz, no que não fiz e no que ainda quero fazer… Fui à procura do meu passado.

A primeira vez que criei um blog e blog no sentido de coisa cronológica com o nome de blog e assente numa plataforma feita para o efeito foi em 2002 com o Sixhat Agridoce, que foi a minha casa pessoal durante muito tempo, foi podcast e acabou perdido por cansaço. Mas antes disso ainda me lembro de ter uma toalha estendida numa praia do norte do país, e já ter no fundo um blog sem saber como lhe chamar. Muito desse passado já se perdeu. A arqueologia internetiana do archive.org não conseguiu preservar tudo o que fui deixando por aí e os vestígios do que fui fazendo são agora muito ténues…

Curiosamente nesta viagem às minhas memórias, encontrei perdida, uma página de links. De links que na viragem do milénio, eram as minhas referências. Fui tentar revisitá-los para ver se por algum motivo ainda estavam por aí, e para minha surpresa alguns (uma minoria) continuam estoicamente, dois viraram portal pornográfico e os restantes foram-se perdendo no passar do tempo… Ao relê-los, principalmente os que estão vivos, percebi porque ainda gosto de “bloggar”… porque mais que o contacto ou o reconhecimento ou dinheiro ou o poder… fica o prazer da leitura das ideias de alguns que são capazes de pensar por si sem precisar dos idiotas (leia-se cheio de ideias) “colunáveis”.

Porque um dia os admirei e hoje ainda me reencontrei neles aqui fica a lista dos que vivem ainda para a minha memória.

A Natureza do Mal

O Movimento das Fotógrafas Super Sexies

Paulo Polzonoff Jr.

Prosa Caótica

Rebecca’s Pocket

Em busca da Límpida Medida

Little Black Spot

London Burning